El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura 
cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier 
:
Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:
para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).
Demostración
Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese una función 
o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase 
. Sear(t) una función vectorial que va de 
, y definamosla cómo 
(de ahora en adelante,vse omitirán las flechas de los vectores).Pongamos r(t) = y Ahora hagamos g(t) = f[r(t)] y recordemos que 
. Notemos ahora que:
o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase . Sear(t) una función vectorial que va de , y definamosla cómo (de ahora en adelante,vse omitirán las flechas de los vectores).Pongamos r(t) = y Ahora hagamos g(t) = f[r(t)] y recordemos que . Notemos ahora que:![g^{''}(t)=u_{1}[D_{11}f(y)u_{1}+..+D_{1n}f(y)u_{n}]+....+u_{n}[D_{n1}f(y)u_{1}+..+D_{nn}f(y)u_{n}]=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^{2}f(y)}{\partial x_{j}\partial x_{i}}u_{j}u_{i}](http://upload.wikimedia.org/math/1/f/a/1fab76786122455da6e0a123fc5963d6.png){kind=small}
Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:
donde el exponente sobre el gradiente es entendido cómo las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir,hacemos el producto escalar que está dentro del paréntesis,luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos g(t) en su serie de McLaurin: 
y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que: 
Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómodo y compacto. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.
y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que: Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómodo y compacto. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.Bibliografía
- R. G. Bartle & D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable', Ed. Limusa, 1990, ISBN 968-18-1725-7.
- Enciclopedia Libre "Wikipedia"
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