CALCULO DE VOLUMENNES SOLIDOS
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
siendo:- , la altura (anchura) de los cilindros parciales
- el radio de los cilindros parciales
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir:
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
2. Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:
EJEMPLOS
bibliografia
http://html.rincondelvago.com/calculo-de-volumenes_2.html
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