4.3 SERIE DE POTENCIA

SERIE DE POTENCIA

Series De Potencia Series de potencias Convergencia de las series de potencias Definición Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x “ (−1,1) (con suma 11−x , como sabemos). 189

DEFINICION

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes a_n son los términos de una sucesion.

 

 EJEMPLOS

• La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

• La serie de potencias es absolutamente convergente para todo

• La serie de potencias solamente converge para x = 0
• 

BIBLIOGRAFIA:

Serie (matemáticas)

Convergencia

Serie de Taylor

Fórmula de Euler-Maclaurin

http://www.mitecnologico.com/Main/SeriesDePotencia